Английский востоковед и археолог.

Ещё в юные годы переехал в Лондон к бабушке и тёте. Начал интересоваться восточными языками с десятилетнего возраста, но в двенадцать был вынужден оставить школу и начать работать. Однако по-прежнему находил время для изучения иврита и сирийского.
В 1872 году серьёзно заинтересовался ассирийским языком и с 1872 по 1878 годы тратил на его изучение всё свободное время и ходил в Британский музей даже в обеденный перерыв.
С 1878 по 1883 год учился в Кембриджском университете, изучая семитские языки, включая сирийский, иврит, эфиопиский и арабский. Также продолжает самостоятельно изучать ассирийский.
В 1883 году устроился сотрудником Британского музея. В 1891 году стал помощником хранителя, а в 1894 – главным хранителем отдела ассирийских древностей, но затем перевёлся в отдел Древнего Египта, параллельно изучая древнеегипетский язык.
За пять лет, с 1886 по 1891 год, совершил большое количество поездок в Египет и Ирак, привезя оттуда огромное количество экспонатов, со временем собрав уникальную для своего времени коллекцию египетских и ассирийских древностей.
Участвовал в археологических раскопках в Египте, Судане и Месопотамии, выполнил множество переводов с древних языков (наиболее известные из них: «Египетская книга мертвых» (с комментариями) и «Коптские проповеди»). Перу Баджа принадлежат также такие труды, как «По Нилу и Тигру» (1920), «Литература древних египтян» (1924) и «Обитатели Нила» (1926).
В 1920 году был посвящён в рыцари за свой вклад в науку.
В 1924 году уволился из Британского музея. Автор большого количества работ по археологии Древнего Востока, древнеегипетским иероглифам и клинописи, а также по древнеегипетской религии. Книги продолжал писать до конца жизни.
Умер в Лондоне 23 ноября 1934.